ウェブブラウザコントロールでコマンド（コピーとか）を実行するには、IWebBrowser2::ExecWBを使用します。ヘルプを見ると、MSHTMLの方で指定されているIDM_COPYとかを使うように見えるのですが、どうやらICommandTargetの方で指定されているOLDCMDID_COPYとかを使うのが正解っぽいです（値は同じですが）。MSHTMLの方のコマンドを使う場合には、IWebBrowser2からIHTMLDocument2を取得して、IHTMLDocument2::execCommandを使うべきなのでしょう。
コピーが出来るかどうかなどを判定するには、IWebBrowser2::QueryStatusWBを使います。この関数のヘルプはなぜか引数の順番が間違っています。さらに、戻り値のOLECMDFはビットのORで返ってくるので注意です。たとえば、OLECMDF_SUPPORTED | OLECMDF_ENABLEDなんかが返されます。
どうもメッセージウィンドウを開いた時にフォーカスがウェブブラウザコントロールにいかないので調べてみたところ、IWebBrowser2::Navigate2を呼び出した直後に、IHTMLWindow2::focusでフォーカスを設定しても早すぎるのが原因のようです。しょうがないので、DWebBrowserEvents2::DocumentCompleteをハンドルしてその中でフォーカスを設定するようにしました。